Matematicas Avanzadas para Ingenieria

Índex

Prefacio v Proyectos xvii Proyecto para la sección 2.2 Cuando las Ecuaciones diferenciales invadieron la geometría: Problemas de la tangente inversa en el siglo XVII Proyecto para la sección 2.5 Dos propiedades de la esfera xix Proyecto para la sección 2.7 Fechamiento de potasio-argón xxi Proyecto para la sección 2.8 Tiempo engañoso: isócronas de Huygens y Leibniz xxii Proyecto para la sección 3.8 Control de la vibración: aislamiento de la vibración xxiv Proyecto para la sección3.l Control de la vibración: absorbedores de la vibración xxvi Proyecto para la sección 11.4 Formación de ondas: convección, difusión y flujo de tráfico xxix Proyecto para la sección 13.4 La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de señales xxxii PARTE 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias 1 Introducción a las Ecuaciones diferenciales 2 Definiciónes y terminología 3 Problemas de valor inicial 11 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 17 Ejercicios de repaso 29 Ecuaciones diferenciales de primer orden 31 2.1 Curvas solución sin solución32 2.1.1 Campos de direcciones 32 2.1.2 Ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden 34 2.2 Ecuaciones separables 41 2.3 Ecuaciones lineales 47 2.4 Ecuaciones exactas 55 2.5 Soluciones por sustitución 61 2.6 Un método numérico 65 2.7 Modelos lineales 69 2.8 Modelos no lineales 79 2.9 Modelación con sistemas de Ecuaciones diferenciales de primer orden 87 Ejercicios de repaso 93 Ecuaciones diferenciales de orden superior 97 3.1 Teoría: Ecuaciones lineales 98 3.1.1 Problemas de valor inicial y de valores en la frontera 98 3.1.2 Ecuaciones homogéneas 100 3.1.3 Ecuaciones no homogéneas 105 3.2 Reducción de orden 109 3.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 112 3.4 Coeficientes indeterminados 119 3.5 Variación de parámetros 128 3.6 Ecuación de Cauchy-Euler 133 3.7 Ecuaciones no lineales 138 3.8 Modelos lineales: problemas de valor inicial 143 3.8.1 Sistemas resorte-masa: movimiento libre no amortiguado 143 3.8.2 Sistemas resorte-masa: movimiento libre amortiguado 146 3.8.3 Sistemas resorte-masa: movimiento forzado 149 3.8.4 Analogía con los circuitos en serie 152 3.9 Modelos lineales: problemas de valores en la frontera 158 3.10 Funciones de Green 166 3.10.1 Problemas de valor inicial 167 3.10.2 Problemas de valores en la frontera 173 3.11 Modelos no lineales 177 3.12 Resolución de sistemas de Ecuaciones lineales 186 Ejercicios de repaso 193 La transformada de Laplace 196 4.1 Definición de la transformada de Laplace 197 4.2 La transformada inversa y transformadas de derivadas 202 4.2.1 Transformadas inversas 202 4.2.2 Transformadas de derivadas 204 4.3 Teoremas de traslación 210 4.3.1 Traslación en los ejes 210 4.3.2 Traslación en el eje 213 4.4 Propiedades operacionales adicionales 220 4.4.1 Derivadas de transformadas 220 4.4.2 Transformadas de integrales 222 4.4.3 Transformada de una función periódica 226 4.5 La función delta de Dirac 230 4.6 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales 233 Ejercicios de repaso 238 Soluciones en serie nara Ecuaciones diferenciales parciales ZH-I 5.1 Soluciones en torno a puntos ordinarios 5.1.1 Repaso de las series de potencias 5.1.2 Soluciones en series de potencias 5.2 Soluciones en torno a puntos singulares 5.3 Funciones especiales 260 5.3.1 Funciones de Bessel 260 5.3.2 Funciones de Legendre 267 Ejercicios de repaso 272 Soluciones numericas a Ecuaciones jrenciales ordinarias 274 Métodos de Euler y analisis de errores 275 Métodos de Runge-Kutta 279 Métodos de varios pasos 284 Ecuaciones y sistemas de orden superior 286 Problemas de valores en la frontera de segundo orden 290 Ejercicios de repaso 294 PARTE 2 Matrices 295 296 Algebra matricial 297 Sistemas de Ecuaciones algebraicas lineales 305 Rango de una matriz 315 Determinantes 320 Propiedades de los determinantes 326 Inversa de una matriz 332 7.6.1 Calculo de la inversa 332 7.6.2 Utilización de la inversa para resolver sistemas 338 Regia de Cramer 342 El problema del valor propio 345 Potencias de las matrices 350 Matrices ortogonales 354 Aproximación de valores propios 361 Diagonalización 368 Criptografía 376 Código corrector de errores 380 Método de los mínimos cuadrados 385 Modelos discretos de compartimiento 388 Ejercicios de repaso 392 PARTE 3 Sistemas de Ecuaciones diferenciales 395 L Sistemas de Ecuaciones diferenciales r lineales 396 8.1 Teoría de sistemas lineales 397 8.2 Sistemas lineales homogéneos 403 8.2.1 Valores propios reales distintos 404 8.2.2 Valores propios repetidos 407 8.2.3 Valores propios complejos 411 8.3 Solución mediante Diagonalización 416 8.4 Sistemas lineales no homogéneos 418 8.4.1 Coeficientes indeterminados 418 8.4.2 Variación de parámetros 420 8.4.3 Diagonalización 423 8.5 Matriz exponencial 425 Ejercicios de repaso 429 Sistemas de Ecuaciones diferenciales no lineales 431 9.1 Sistemas autónomos 432 9.2 Estabilidad de los sistemas lineales 438 9.3 Linealización y estabilidad local 445 9.4 Sistemas autónomos como modelos matemáticos 454 9.5 Soluciones periódicas, ciclos limite y estabilidad global 461 Ejercicios de repaso 469 PARTE 4 Ecuaciones diferenciales parciales 471 Funciones ortogonales y series de Fourier 10.1 Funciones ortogonales 473 10.2 Series de Fourier 478 10.3 Series de Fourier de cosenos y senos 482 10.4 Series complejas de Fourier 489 10.5 Problema de Sturm-Liouville 492 10.6 Series de Bessel y de Legendre 499 10.6.1 Serie de Fourier-Bessel 499 10.6.2 Serie de Fourier-Legendre 502 Ejercicios de repaso 505 Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares 506 11.1 Ecuacionesdiferencialesparciales separates 507 11.2 Ecuaciones clasicas y problemas de valores en la frontera 510 11.3 La Ecuación decalor 515 11.4 La Ecuación de onda 518 11.5 La Ecuación de Laplace 523 11.6 Problemas de valores en la frontera no homogéneos 528 11.7 Desarrollos en series ortogonales 534 11.8 Serie de Fourier condos variables 538 Ejercicios de repaso 541 Problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados 543 12.1 Problemas en coordenadas polares 544 12.2 Problemas en coordenadas cilindricas 548 12.3 Problemas en coordenadas esfericas 555 Ejercicios de repaso 558 13.1 Función de error 561 13.2 Aplicaciones de la transformada de Laplace 562 13.3 Integral de Fourier 570 13.4 Transformadasde Fourier 575 13.5 Transformada rapida de Fourier 580 Ejercicios de repaso 589 L Soluciones numericas de Ecuaciones r diferenciales parciales 591 14.1 La Ecuación de Laplace 592 14.2 La Ecuación de calor 597 14.3 La Ecuación deonda 602 Ejercicios de repaso 605 PARTE 5 Análisis complejo 607 15.1 Números complejos 609 15.2 Potencias y raíces 612 15.3 Conjuntos en el piano complejo 617 15.4 Funciones de una variable compleja 619 15.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann 624 15.6 Funciones exponenciales y logarítmicas 628 15.7 Funciones trigonométricas e hiperbólicas 634 15.8 Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 638 Ejercicios de repaso 640 16.1 Integrales de contorno 643 16.2 Teorema de Cauchy-Goursat 648 16.3 Independencia de la trayectoria 652 16.4 Formulas integrales de Cauchy 657 Ejercicios de repaso 662 Sucesiones y series 665 Serie de Taylor 669 Serie de Laurent 674 17.4 Ceros y polos 681 17.5 Residuos y teorema del residuo 684 17.6 Calculo de integrales reales 689 Ejercicios de repaso 696 Apéndice I Formulas de derivadas e integrales APE-2 Apéndice II Función gamma APE-4 Apéndice III Tabla de transformadas de Laplace APE-6 Apéndice IV Transformaciones conformes APE-9 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar RESP-1 Índice analítico IND-1